Criteri di convergenza di una serie numerica

Criteri di convergenza di una serie numerica

a) Criterio di convergenza di Cauchy.
Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie numerica\[\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\]di termine generale \[x_{n}\] sia convergente è che \[\forall \varepsilon> 0\, \, \exists\, \nu \in N:\forall \, n> \nu\, \, e\,\, \forall p\in N\] risulti: \[\left | x_{n+1} +x_{n+2} +…+x_{n+p} +\right |< \varepsilon\]

Osserviamo che tale criterio è di notevole importanza teorica ma di scarsa utilità pratica per le difficoltà presentate dalla sua applicazione pratica.

Nota Se una serie è convergente allora si ha la condizione necessaria: \[\lim_{n}x_{n}=0\] Notiamo che tale criterio è di non convergenza, ovvero se il limite del termine generale non è zero allora la serie non converge; ma se tale limite è zero non è detto che la serie converga.

b) Criterio di Gauss o del confronto. 
Siano $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}$,  $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}$ due serie a termini positivi. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}$ converge e se la seconda serie è maggiorata dalla prima, ossia se: \[y_{n}\leq x_{n}\, \, \, \, \forall n\in N\] allora converge anche la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}$.
Se la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}$ diverge e se\[x_{n}\leq y_{n}\, \, \, \, \forall n\in N\] allora diverge anche la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}$

Esercizi svolti

c) Criterio del confronto asintotico
Date due serie a termini positivi \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n},\, \, \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\]con \[y_{n}\neq 0\, \, \, \forall n\in N\] e \[\lim_{n}\frac{x_{n}}{y_{n}}=l\] allora si ha:

  1. se $\displaystyle l\in \left ( 0.+\infty \right )$ le due serie (1) hanno lo stesso carattere;
  2. se $\displaystyle l=0$ e se converge la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}$ converge anche la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}$
  3. se $\displaystyle l=+\infty$ e se diverge la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}$ diverge anche la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}$.

Esercizi svolti

d) Criterio di D’Alembert o del rapporto.
Sia\[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi e tale che \[\lim_{n}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l\]
Si ha:

  • se $\displaystyle l<1$ la serie converge;
  • se $\displaystyle l>1$ la serie diverge;
  • se $\displaystyle l=1$ il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

Esercizi svolti

e) Criterio della radice.
Sia \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi e tale che \[\lim_{n}\sqrt[n]{x_{n}} =l\]Si ha:

  • se $\displaystyle l<1$ la serie converge;
  • se $\displaystyle l>1$ la serie diverge;
  • se $\displaystyle l=1$ il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

Esercizi svolti

f) Criterio di Leibniz.
Sia \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}\]una serie a termini di segno alterno. Se:

  1. \[x_{n}\geq 0\,\, \, \, \, definitivamente\]
  2. \[\lim_{n}x_{n}=0\]
  3. \[\left \{ x_{n} \right \}\, \, successione\, \, decrescente\]

allora converge la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}\]
Nota Il resto \[r_{n}\] della serie, cioè l’errore che si commette sostituendo alla somma S il valore della somma parziale \[S_{n}\] è minore, in valore assoluto, del valore assoluto del termine di indice n+1:
\[\left | r_{n} \right |< x_{n+1}\] Precisamente, l’approssimazione è per difetto se l’ultimo addendo di \[S_{n}\] è negativo, per eccesso se l’ultimo addendo di è positivo.

Esercizi svolti

g) Criterio di Raabe

Sia\[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi e tale che

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty }n\cdot \left ( \frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1 \right )=l$

Si ha:

  • se $\displaystyle l>1$ la serie converge;
  • se $\displaystyle l<1$ la serie diverge;
  • se $\displaystyle l=1$ il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

Esercizi svolti

h) Criterio dell’integrale o di Cauchy
Sia \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi non crescenti e sia y = f(x) una funzione positiva, continua, non crescente e tale che \[f(1)=x_{1},f(2)=x_{2},…,f(n)=x_{n},…\] allora:

a) se l’integrale improprio $\int_{1}^{+\infty }f(x)dx$ è convergente, converge anche la serie data;

b) se l’integrale improprio $\int_{1}^{+\infty }f(x)dx$ è divergente, diverge anche la serie data.

Esercizi svolti

 

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