Criteri di convergenza di una serie numerica

Criteri di convergenza di una serie numerica

a) Criterio di convergenza di Cauchy.
Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie numerica\[\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\]di termine generale \[x_{n}\] sia convergente è che \[\forall \varepsilon> 0\, \, \exists\, \nu \in N:\forall \, n> \varepsilon\, \, e\,\, \forall p\in N\] risulti: \[\left | x_{n+1} +x_{n+2} +…+x_{n+p} +\right |< \varepsilon\]

Nota Se una serie è convergente allora si ha la condizione necessaria: \[\lim_{n}x_{n}=0\] Notiamo che tale criterio è di non convergenza, ovvero se il limite del termine generale non è zero allora la serie non converge; ma se tale limite è zero non è detto che la serie converga.

b) Criterio di Gauss o del confronto. 
Siano \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n},\, \, \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\] due serie a termini positivi. Se la serie\[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\] converge e se la seconda serie è maggiorata dalla prima, ossia se: \[y_{n}\leq x_{n}\, \, \, \, \forall n\in N\] allora converge anche la serie:\[\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\]

Se la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]  diverge e se\[x_{n}\leq y_{n}\, \, \, \, \forall n\in N\]
allora diverge anche la serie\[\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\]

c)Criterio del confronto asintotico
Date due serie a termini positivi \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n},\, \, \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\]con \[y_{n}\neq 0\, \, \, \forall n\in N\] e \[\lim_{n}\frac{x_{n}}{y_{n}}=l\] allora si ha:

  1. se \[l\in \left ( 0,+\infty \right )\] le due serie (1) hanno lo stesso carattere;
  2. se\[l=0\] e se converge la serie\[\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\] converge anche la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]
  3. se \[l=+\infty\] e se diverge la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}\]  diverge anche la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]
    .

d) Criterio di D’Alembert o del rapporto.
Sia\[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi e tale che \[\lim_{n}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l\]
Si ha:

  • se l < 1 la serie converge;
  • se l > 1 la serie diverge;
  • se l = 1 il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

e) Criterio della radice.
Sia \[\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\]   una serie a termini positivi e tale che \[\lim_{n}\sqrt[n]{x_{n}} =l\]Si ha:

  • se l < 1 la serie converge;
  • se l > 1 la serie diverge;
  • se l = 1 il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

f) Criterio di Leibniz.
Sia \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}\]una serie a termini di segno alterno. Se:

  1. \[x_{n}\geq 0\,\, \, \, \, definitivamente\]
  2. \[\lim_{n}x_{n}=0\]
  3. \[\left \{ x_{n} \right \}\, \, successione\, \, decrescente\]

allora converge la serie \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}\]
Nota Il resto \[r_{n}\] della serie, cioè l’errore che si commette sostituendo alla somma S il valore della somma parziale \[S_{n}\] è minore, in valore assoluto, del valore assoluto del termine di indice n+1:
\[\left | r_{n} \right |< x_{n+1}\] Precisamente, l’approssimazione è per difetto se l’ultimo addendo di \[S_{n}\] è negativo, per eccesso se l’ultimo addendo di è positivo.

g) Criterio di Raabe

h) Criterio dell’integrale

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