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Derivate parziali, esempi

 

Esempio 1.- Calcolare le derivate parziali del primo e del secondo ordine delle seguenti funzioni:

a) \[f(x,y)=-3x^{2}+5y^{2}\] 

b) $\displaystyle f(x,y)=6xy-x^{2}y-xy^{2}$

c) $\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

Risoluzione

a) Cominciamo a calcolare la derivata parziale prima della funzione rispetto alla variabile x, si ha: 

\[f’_{x}\left ( x,y \right )=-3\left ( 2x \right )+0=-6x\]

La derivata parziale prima rispetto ad y è invece:

\[f’_{y}\left ( x,y \right )=o+5(2y)=10y\]

Ora calcoliamo la derivata parziale seconda fatta due volte rispetto ad x, cioè $\displaystyle f”_{xx}\left ( x,y \right )$  si ha.

\[f”_{xx}\left ( x,y \right )=-6\]

mentre la derivata parziale seconda ottenuta derivando due volte rispetto ad y è:

\[f”_{yy}\left ( x,y \right )=10\]

Osserviamo che possiamo anche considerare le derivate parziali seconde miste:

\[f”_{xy}\left ( x,y \right )=D_{y}\left [ f’_{x}\left ( x,y \right ) \right ]=D_{y}6=0\]

\[f”_{yx}\left ( x,y \right )=D_{x}\left [ f’_{y}\left ( x,y \right ) \right ]=D_{x}10=0\]

( $\displaystyle D_{y}$  derivata rispetto ad y) e ovviamente sono uguali perché la funzione f è continua (Teorema di Schwarz)

Ricordiamo che:

significa che si deriva prima rispetto ad x e poi rispetto ad y, mentre

significa che si deriva prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.

Esercizio 2.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione

\[f(x,y)=\frac{x+2y-1}{3x-y^{2}-4xy}\]

nei punti A(-1,0), B (2, -3).

Risoluzione

La derivata parziale prima rispetto ad x è:

cioè

\[f’_{x}(x,y)=\frac{7y^{2}-10y+3}{\left ( 3x-y^{2}-4xy \right )^{2}}\]

Calcoliamo ora la derivata parziale prima nel punto A(-1,0), si ha:

mentre nel punto B (2, -3) vale: …

Esercizio 3.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione

\[f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}-2x}\]

Risoluzione

Si tratta di una funzione composta, quindi applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte.
La derivata parziale prima rispetto ad x è:

.

Calcoliamo ora la derivata parziale nel punto A (0,0) e nel punto B(1,0). Si ha:

Calcoliamo ora la derivata parziale prima rispetto ad y, si ha:

Esercizio 4.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione

\[f(x,y)=ln\left ( \frac{senx+y}{ycosx} \right )\]

ove ln indica il logaritmo neperiano.

Risoluzione

Si tratta di una funzione composta, quindi applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte.

La derivata parziale prima rispetto ad x è:

Calcoliamo ora la derivata parziale prima rispetto ad y, si ha:

.

Altri esempi svolti sulle derivarte parziali nella pagina “Derivate parziali”