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Equazione differenziale riconducibile a variabili separabili, 3

Equazione differenziale riconducibile a variabili separabili

L’equazione:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’=f\left ( \frac{mx+qy+p}{m’x+q’y+p’} \right )\]con f funzione continua e m, q, p, m’, q’, p’ costanti reali tali che: \[mq’-m’q\neq 0\]e p e p’ non entrambi nulli, si può risolvere con la posizione: \[x=u+a,\, \, \, y=v+b\]ove (a, b) sono le coordinate del punto P, diverso dall’origine O(0,0), d’intersezione delle rette \[mx+qy+p=0,\, \, \, m’x+q’y+p’=0\]che esiste sicuramente in base alle ipotesi fatte. Quindi, tenuto conto che y’=dy/dx, si ha: \[{y}’=\frac{dy}{dx}=\frac{d(v+b)}{d(u+a)}=\frac{dv}{du}\] e \[mx+qy+p=mu+qv,\, \, \, m’x+q’y+p’=m’u+q’v\]Quindi sostituendo nella (1) si ha:\[\frac{dv}{du}=f\left ( \frac{mu+qv}{m’u+q’v} \right )\]cioè \[\frac{dv}{du}=f\left ( \frac{mu+qv}{m’u+q’v} \right )=f\left ( \frac{m+q\cdot \frac{v}{u}}{m’+q’\cdot \frac{v}{u}} \right )\]che è del tipo \[{y}’=f\left ( \frac{y}{x} \right )\]Di conseguenza ad ogni integrale di quest’ultima equazione corrisponde l’integrale\[v=v(u)\]di quest’ultima equazione corrisponde l’integrale\[y=b+v(x-a)\]della (1)

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