Funzioni complesse

Funzioni complesse
Sia C l’insieme dei numeri complessi e z un elemento di C. Dati due sottoinsiemi I e J di C si dice funzione complessa una legge, indicata con f, che ad ogni elemento z di I associ uno ed un solo elemento w di J e si scrive:

w = f(z)

Se indichiamo z e w nella forma algebrica z = x + iy e w = u + iv la funzione f(z) la possiamo scrivere nel seguente modo:

cioè la funzione complessa f di variabile complessa z si può riguardare come una funzione complessa di due variabili reali x e y, e si può indicare anche così:

essendo i l’unità immaginaria ; u(x,y) si dice la parte reale e v(x,y) la parte immaginaria della funzione f.
Alle funzioni complesse si possono estendere le nozioni di limite di una funzione, di continuità e di derivata di una funzione.

Definizione di limite.
Sia w= f(z) una funzione complessa definita in e sia un punto di accumulazione per l’insieme I. Si dice che la funzione f(z) converge in al limite l = h + ik se è verificata la seguente proprietà:

e si scrive:

o anche

1)

Analogamente si dà la definizione di limite all’infinito.

Funzione continua (Definizione)
Una funzione si dice continua in se

2)

ove ed è un punto di accumulazione per I; si dice che f è continua in I se la (2) è verificata per ogni .
Ricordiamo poi il teorema:

Funzioni olomorfe (Def)
Sia f(z) = f(x,y)= u(x,y) + iv(x,y) una funzione complessa della variabile complessa z definita in un campo A e sia z un punto di A, la distanza positiva di z dalla frontiera di A, FA.
Detto un incremento complesso per il punto appartiene ancora ad A, se , e dunque si può considerare l’incremento della funzione complessa f(z):

Se esiste finito il limite:

si dice che la funzione complessa f è derivabile in z. Si dice poi che che f è derivabile in A se è derivabile in ogni punto di A.

Teorema

)

Le condizioni:

5)

sono equivalenti alla:

e si dicono condizioni di olomorfia o di monogeneità e si chiamano anche condizioni di Cauchy Riemann.

Pertanto si può definire una nuova funzione, funzione derivata di f, nel seguente modo:

7)

Una funzione f definita in un campo A e derivabile in ogni punto di A si dice monogena od olomorfa in A. In tal caso le condizioni 5) sono delle identità in A.

Teorema di Goursat: La derivata di una funzione olomorfa in un campo A è olomorfa in A.

Teorema: Una funzione olomorfa in un campo A è dotata in A di derivata di qualsiasi ordine.

Teorema: La parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa in un campo A sono soluzioni in A dell’equazione

8)

L’equazione 8) è alla derivate parziali, del secondo ordine, e prende il nome di equazione di Laplace. Ogni soluzione della 8) si dice una funzione armonica e dunque la parte reale e il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche.

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