Serie geometriche e telescopiche esercizi svolti

In questo paragrafo vogliamo svolgere degli esempi sulle serie geometriche e telescopiche, si tratta di due tipi di serie  per le quali è abbastanza facile stabilire il carattere della serie e l’ventuale somma. Ricordiamo che nella maggior parte dei casi, invece, determinare la somma della serie è difficile perchè le somme ridotte ennesime non si possono definire facilmente in modo da determinare il loro comportamento al crescere di n. Per rivedere la definizione di serie clicca qui

Serie geometriche.- Ricordiamo che si dice serie geometrica la seguente \[\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}…+q^{n}+…\] ove i suoi termini sono quelli della progressione geometrica con ragione q e primo elemento 1.
Ricordiamo che \[\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}…+q^{n}+…=\left\{\begin{matrix} divergente,\, \, con\, \, somma\, \, +\infty & se\, \, q\geq 1\\ convergente, con \, \, somma\, \, s=\frac{1}{1-q} &se\, -1<q<1\\ indeterminata,\, non\, esiste \, la \, \, somma & se\, \, q\leq -1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 1.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{7} \right )^{n}\]

Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 4/7, cioè compreso tra -1 e 1, dunque è convergente la sua somma è \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{7} \right )^{n}=\frac{1}{1-\frac{4}{7}}=\frac{7}{3}\]

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Esempio 2.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{2}{5} \right )^{2n}\]

Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 4/25, cioè compresa tra -1 e 1, dunque è convergente e la sua somma è: \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{2}{5} \right )^{2n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{25} \right )^{n}=\frac{1}{1-\frac{4}{25}}=\frac{25}{21}\]

Verificare anche se la seguente serie \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\] è convergente e calcolare la sua somma.

\[\sum _{n=1}^{+\infty }q^{n}=-1+\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=-1+\frac{1}{1-q}\]

Verificare se la seguente serie è convergente e calcolare la sua somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{3}{5} \right )^{n-1}\]
La somma è 5/2.

Verificare se le seguenti serie sono convergenti e calcolare eventualemente la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( \frac{3}{5} \right )^{n-1}\]

\[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( \frac{5}{4} \right )^{n-1}\]

\[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2}{5^{n+1}},\, \, \sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{3^{n+1}},\, \, \sum _{n=1}^{+\infty }6\cdot 3^{-n+2}\]

Esempio 3.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{9}{2} \right )^{n}\]

Esempio 4.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{3^{2n}}{4^{n}} \right )\]

Studiare anche la serie \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}\] Non sai calcolare la somma? Vedi lo svolgimento sul mio canale Youtube

Esempio 5.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{4^{n}} \right )^{3}\]

Esempio 6.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 4-\sqrt{15} \right )^{n}\]

Esempio 7.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 3-\sqrt{8} \right )^{n}\]

Esempio 8.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 7-\sqrt{35} \right )^{n}\]

Esempio 9.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-12)^{n}}{5^{n}}\]

Esempio 10.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{log_{2}\, 3}{2} \right )^{n}\]

Studiare anche la serie \[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{e^{n}}\]
La serie converge e la somma vale \[s=\frac{e}{e-1}\]

Esempio 11.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{tan\frac{\pi }{3}} \right )^{n}\]

Esempio 11.1.- Studiare la seguente serie geometrica condizionata (con parametro x) e calcolare se possibile la sua somma \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{3-x} \right )^{n}\]

La serie converge se la ragione q è compresa tra -1 e 1: \[-1< \frac{1}{3-x} <1\]…

Serie telescopiche.- Si tratta di una serie del tipo \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( x_{n}-x_{n+k} \right )\] con k numero naturale e \[\left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}\] successione infinitesima. Tale serie è convergente ed ha per somma \[s=x_{1}+x_{2}+…+x_{k}\]

Esempio 12.- Studiare la seguente serie di Mengoli e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}\]
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Esempio 13.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}-1}\]

Esempio 14.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{(2n+1)\left ( 2n-1 \right )}\]
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Esempio 15.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}+5n+6}\]
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Esempio 16- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right )\]

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Esempio 17- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( 3^{-n}-3^{-n-2} \right )\]

Esempio 18- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( arctan\frac{1}{n}-arctan\frac{1}{n+1} \right )\]

Esempio 19- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( sen\frac{\pi }{2n}-sen\frac{\pi }{2n+2} \right )\]

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