Serie geometriche.- Ricordiamo che si dice serie geometrica la seguente \[\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}…+q^{n}+…\] ove i suoi termini sono quelli della progressione geometrica con ragione q e primo elemento 1.
Ricordiamo che \[\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}…+q^{n}+…=\left\{\begin{matrix} divergente,\, \, con\, \, somma\, \, +\infty & se\, \, q\geq 1\\ convergente, con \, \, somma\, \, s=\frac{1}{1-q} &se\, -1<q<1\\ indeterminata,\, non\, esiste \, la \, \, somma & se\, \, q\leq -1 \end{matrix}\right.\]
Esempio 1.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{7} \right )^{n}\]
Risoluzione
Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 4/7, cioè compreso tra -1 e 1, dunque è convergente la sua somma è \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{7} \right )^{n}=\frac{1}{1-\frac{4}{7}}=\frac{7}{3}\]
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Esempio 2.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{2}{5} \right )^{2n}\]
Risoluzione
Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 4/25, cioè compresa tra -1 e 1, dunque è convergente e la sua somma è: \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{2}{5} \right )^{2n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{4}{25} \right )^{n}=\frac{1}{1-\frac{4}{25}}=\frac{25}{21}\]
Verificare anche se la seguente serie \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\] è convergente e calcolare la sua somma.
\[\sum _{n=1}^{+\infty }q^{n}=-1+\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=-1+\frac{1}{1-q}\]
Verificare se la seguente serie è convergente e calcolare la sua somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{3}{5} \right )^{n-1}\]
La somma è 5/2.
Verificare se le seguenti serie sono convergenti e calcolare eventualmente la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( \frac{3}{5} \right )^{n-1}\]
\[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( \frac{5}{4} \right )^{n-1}\]
\[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2}{5^{n+1}},\, \, \sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{3^{n+1}},\, \, \sum _{n=1}^{+\infty }6\cdot 3^{-n+2}\]
Esempio 3.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{9}{2} \right )^{n}\]
Esempio 4.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{3^{2n}}{4^{n}} \right )\]
Studiare anche la serie \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}\] Non sai calcolare la somma? Vedi lo svolgimento sul mio canale Youtube
Esempio 5.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{4^{n}} \right )^{3}\]
Esempio 6.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 4-\sqrt{15} \right )^{n}\]
Esempio 7.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 3-\sqrt{8} \right )^{n}\]
Esempio 8.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( 7-\sqrt{35} \right )^{n}\]
Esempio 9.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma\[\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-12)^{n}}{5^{n}}\]
Esempio 10.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{log_{2}\, 3}{2} \right )^{n}\]
Studiare anche la serie \[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{e^{n}}\]
La serie converge e la somma vale \[s=\frac{e}{e-1}\]
Esempio 11.- Studiare la seguente serie geometrica e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{tan\frac{\pi }{3}} \right )^{n}\]
Esempio 11.1.- Studiare la seguente serie geometrica condizionata (con parametro x) e calcolare se possibile la sua somma \[\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{3-x} \right )^{n}\]
La serie converge se la ragione q è compresa tra -1 e 1: \[-1< \frac{1}{3-x} <1\]…
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Esempio 11.2.– Studiare la seguente serie geometrica parametrica \[\sum_{n=0}^{+\infty } \left [ ln(x^{2}+1) \right ]^{n}\]
Se non sai svolgere l’esercizio prova a vedere il mio video
Esempio 11.3.– Studiare la seguente serie geometrica parametrica \[\sum_{n=0}^{+\infty } \left ( 3^{2x}-2 \right )^{n}\]
Se non sai svolgere l’esercizio prova a vedere il mio video
Esempio 11.4.– Studiare la seguente serie geometrica parametrica \[\sum_{n=0}^{+\infty } \left ( \frac{2}{4-x} \right )^{n}\]
Se non sai svolgere l’esercizio prova a vedere il mio video
Serie telescopiche.- Si tratta di una serie del tipo \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( x_{n}-x_{n+k} \right )\] con k numero naturale e \[\left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}\] successione infinitesima. Tale serie è convergente ed ha per somma \[s=x_{1}+x_{2}+…+x_{k}\]
Esempio 12.- Studiare la seguente serie di Mengoli e calcolare se possibile la sua somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}\]
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Esempio 13.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}-1}\]
Esempio 14.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{(2n+1)\left ( 2n-1 \right )}\]
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Esempio 15.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}+5n+6}\]
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Esempio 16.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right )\]
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Esempio 17.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( 3^{-n}-3^{-n-2} \right )\]
Esempio 18.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( arctan\frac{1}{n}-arctan\frac{1}{n+1} \right )\]
Esempio 19.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum _{n=1}^{+\infty }\left ( sen\frac{\pi }{2n}-sen\frac{\pi }{2n+2} \right )\]
Esempio 20.- Studiare la seguente serie e calcolare la somma \[\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{2n+7}{3^{n}}\] \[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left ( cos\frac{n\pi }{4} \right )^{2}}{2^{n}}\]