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Sistemi di equazioni per la scuola superiore

Esempio 1.1.- Sistemi di equazioni di primo grado in due incognite. Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x+y &=5 \\ x-3y &=1 \end{matrix}\right.\]

Applichiamo il metodo di sostituzione. Pertanto ricaviamo l’incognita y dalla prima equazione e sostituiamola al posto di y nella seconda equazione del sistema. Si ha: \[\left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-3y & =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-3(5-x) & =1 \end{matrix}\right.\]

Ragioniamo ora nella seconda equazione del sistema, nella sola incognita x e risolviamola: \[\left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-15+3x & =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=5-x \\ 4x &=16 \end{matrix}\right.\]

Risolviamo l’equazione 4x = 16 del sistema e si ha x = 4. Pertanto il sistema diventa \[\left\{\begin{matrix} y &=5-x \\ x &=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=5-4 \\ x &=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=1 \\ x &4 \end{matrix}\right.\]

e cioè la coppia (4, 1) è la soluzione del sistema assegnato.

Esempio 1.2.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 3x+4y &=11 \\ 5x-3y &=-1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 1.3.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}+y &=\sqrt{3} \\ x-y\sqrt{3} &=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\]

Applichiamo il metodo di Cramer e calcoliamo dunque \[\Delta ,\, \, \Delta _{x},\, \, \Delta _{y}\]. Si ha;

\[\Delta =\begin{vmatrix} \sqrt{2} &1 \\ 1 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}=-\sqrt{6}-1\]

\[\Delta_{x} =\begin{vmatrix} \sqrt{3} &1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix}=-3-\sqrt{2}\]

\[\Delta_{y} =\begin{vmatrix} \sqrt{2} &\sqrt{3} \\ 1 & \sqrt{2} \end{vmatrix}=2-\sqrt{3}\]

Quindi la soluzione del sistema è:

\[x=\frac{\Delta _{x}}{\Delta }=\frac{-3-\sqrt{2}}{-1-\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{2}}{1+\sqrt{6}}=…\]

\[y=\frac{\Delta _{y}}{\Delta }=\frac{2-\sqrt{3}}{-1-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}-2}{1+\sqrt{6}}=…\]

Esempio 1.4.- Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 2x+3y+4 &=2y \\ \frac{3x+y}{3}-x-\frac{2}{5}&= \frac{4x-2y}{10} \end{matrix}\right.\]

Non sai risolverlo? Allora vedi il mio video su Youtube

Esempio 1.5.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x+2y+3z &=5 \\ x-4y &=-4 \\ 2x+y-z &=0 \end{matrix}\right.\]

Se non sai risolverlo puoi vedere il mio video

Esempio 1.6.- Risolvere al variare del parametro reale k il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} kx-y &=2 \\ 5kx-(k+1)y & =7 \end{matrix}\right.\, \, \, \, \, \, k\in R\]

Se non sai fare l’esercizio puoi consultare il mio video su Youtube

Esempio 1.7.- Sistema di primo grado in tre equazioni, regola di Sarrus. Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x+y-2 &=4 \\ x-y+3z &=0 \\ 2x+y-5z &=6 \end{matrix}\right.\]

Se non sai risolverlo prova a vedere il mio video su Youtube

Esempio 2.1.- Sistemi di secondo grado.- Risolvere il seguente sistema di secondo grado \[\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+y^{2}-3x-2y &=0 \\ x-4y &= 3 \end{matrix}\right.\]

Esempio 3.1. Sistemi di secondo grado a tre incognite. Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2z^{2} &=3 \\ x-y+z &=0 \\ 2x-3y-z &=2 \end{matrix}\right.\]

Prova a vedere il mio video se non riesci a risolverlo!

Esempio 4.1.- Sistemi simmetrici. Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} 6x+6y-4x^{2}-4y^{2} &=-16 \\ xy & =3 \end{matrix}\right.\]

Prova a vedere il mio video se non riesci a risolverlo!

Esempio 4.2.- Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=9\\ x+y=3 \end{matrix}\right.\]

Esempio 4.3.- Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=29\\ xy=10 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.1.- Particolari sistemi di grado superiore al secondo. Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4x-y+2&=0 \\ x^{2}+y^{2}+3x-y-4 &=0 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.2.- Risolvere il seguente sistema\[\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-5y^{2} &=1 \\ 2x^{2}-y^{2} &=-1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.3.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-3x&=-2 \\ y^{2}-4y&=0 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.4.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x-y+y^{2}&=6\\ 3y^{2}-9y&=0 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.5.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x(-3y+6)&=0\\ x^{2}+y^{2}-5x-4y+4&=0 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.6.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 2xy+3y^{2}=0\\ x^{2}+5y^{2}+3xy=11 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.7.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+4xy+4y^{2}=0\\ x^{2}-xy+3y^{2}=36 \end{matrix}\right.\]