Risoluzione
Applichiamo il metodo di sostituzione. Pertanto ricaviamo l’incognita y dalla prima equazione e sostituiamola al posto di y nella seconda equazione del sistema. Si ha: \[\left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-3y & =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-3(5-x) & =1 \end{matrix}\right.\]
Ragioniamo ora nella seconda equazione del sistema, nella sola incognita x e risolviamola: \[\left\{\begin{matrix} y=5-x \\ x-15+3x & =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=5-x \\ 4x &=16 \end{matrix}\right.\]
Risolviamo l’equazione 4x = 16 del sistema e si ha x = 4. Pertanto il sistema diventa \[\left\{\begin{matrix} y &=5-x \\ x &=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=5-4 \\ x &=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y &=1 \\ x &4 \end{matrix}\right.\]
e cioè la coppia (4, 1) è la soluzione del sistema assegnato.
Esempio 1.2.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 3x+4y &=11 \\ 5x-3y &=-1 \end{matrix}\right.\]
Esempio 1.3.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}+y &=\sqrt{3} \\ x-y\sqrt{3} &=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\]
Risoluzione
Applichiamo il metodo di Cramer e calcoliamo dunque \[\Delta ,\, \, \Delta _{x},\, \, \Delta _{y}\]. Si ha;
\[\Delta =\begin{vmatrix} \sqrt{2} &1 \\ 1 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}=-\sqrt{6}-1\]
\[\Delta_{x} =\begin{vmatrix} \sqrt{3} &1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix}=-3-\sqrt{2}\]
\[\Delta_{y} =\begin{vmatrix} \sqrt{2} &\sqrt{3} \\ 1 & \sqrt{2} \end{vmatrix}=2-\sqrt{3}\]
Quindi la soluzione del sistema è:
\[x=\frac{\Delta _{x}}{\Delta }=\frac{-3-\sqrt{2}}{-1-\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{2}}{1+\sqrt{6}}=…\]
\[y=\frac{\Delta _{y}}{\Delta }=\frac{2-\sqrt{3}}{-1-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}-2}{1+\sqrt{6}}=…\]
Esempio 1.4.- Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 2x+3y+4 &=2y \\ \frac{3x+y}{3}-x-\frac{2}{5}&= \frac{4x-2y}{10} \end{matrix}\right.\]
Non sai risolverlo? Allora vedi il mio video su Youtube
Esempio 1.5.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x+2y+3z &=5 \\ x-4y &=-4 \\ 2x+y-z &=0 \end{matrix}\right.\]
Se non sai risolverlo puoi vedere il mio video
Discussione di un sistema letterale
Esempio 2.1.- Risolvere al variare del parametro reale k il seguente sistema:
\[\left\{\begin{matrix}kx -y& =1 \\x +y& =2 \\\end{matrix}\right.\]
Risoluzione e discussione
Calcoliamo il determinante del sistema: \[\Delta =\begin{bmatrix} k&-1 \\1 &1 \\\end{bmatrix}=k+1\].
Se k + 1 è diverso da zero, cioè per k diverso da -1, il sistema è determinato e le soluzioni sono:
\[x=\frac{\Delta x}{\Delta },\, \, \, \, y=\frac{\Delta y}{\Delta }\]
con
\[\Delta x=\begin{bmatrix} 1&-1 \\2 &1 \\\end{bmatrix}=1+2=3\]
\[\Delta y=\begin{vmatrix}k &1 \\1 & 2 \\\end{vmatrix}=2k-1\]
Pertanto se k è diverso da -1 la soluzione è:
\[x=\frac{3}{k+1 },\, \, \, \, y=\frac{2k-1}{k+1 }\]
Se invece k è uguale a -1, il determinante del sistema si annulla e però \[\Delta x=3\] è diverso da zero, dunque il sistema è impossibile.
Riassumendo, per \[k\neq -1\] il sistema è determinato e la soluzione è \[x=\frac{3}{k+1 },\, \, \, \, y=\frac{2k-1}{k+1 }\], per k = 1 il sistema è impossibile.
Esempio 2.2.- Risolvere al variare del parametro reale m il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix}2x-y &=m \\ x-my&=1 \\\end{matrix}\right.\]
Esempio 2.3.- Risolvere al variare del parametro reale k il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix}x-3y &=1 \\ 2x-ky&=7 \\\end{matrix}\right.\]
Esempio 2.4.- Risolvere al variare del parametro reale k il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix}x-y &=k \\ 2x-2y&=2k \\\end{matrix}\right.\]
Esempio 2.5.- Risolvere al variare del parametro reale k il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} kx-y &=2 \\ 5kx-(k+1)y & =7 \end{matrix}\right.\, \, \, \, \, \, k\in R\]
Se non sai fare l’esercizio puoi consultare il mio video su Youtube
Esempio 2.6.- Sistema di primo grado in tre equazioni, regola di Sarrus. Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x+y-2 &=4 \\ x-y+3z &=0 \\ 2x+y-5z &=6 \end{matrix}\right.\]
Se non sai risolverlo prova a vedere il mio video su Youtube