Sia $\left ( K,+,\times \right )$ un campo K i cui elementi sono chiamati scalari e V, i cui elementi li indicheremo con $\textbf{x}$, un insieme di vettori con due operazioni:
a) addizione tra vettori (+)
\[ +:\left ( \textbf{x},\textbf{y}\right )\in V\times V\to \textbf{x+y}\in V\] (operazione interna)
b) moltiplicazione scalare per vettore
\[ \cdot :\left ( \alpha ,\textbf{x}\right )\in V\times V\to \alpha\cdot \textbf{x}\in V\] (operazione esterna)
La quaterna $\left ( V,K,+,\times \right )$ si dice spazio vettoriale sul campo K se sono verificate le seguenti proprietà:
1) (V, +) è un gruppo abeliano
2) $\alpha\cdot \left ( \textbf{x}+\textbf{y} \right ) =\alpha\cdot \textbf{x}+\alpha\cdot \textbf{y}$
3) $ \left ( \alpha +\beta \right )\cdot \textbf{x}=\alpha\cdot \textbf{x}+\beta\cdot \textbf{x}$
4) $1\cdot \textbf{x}=\textbf{x}$
5) $\alpha \cdot \left ( \beta \cdot \textbf{x} \right )=\left (\alpha \times \beta \right )\cdot \textbf{x}$
$\forall \alpha ,\beta\in K,\: \forall \textbf{x},\textbf{y}\in V$, e 1 indica l’unità di K.
Se K = R lo spazio vettoriale V si dice spazio vettoriale sul campo reale.
Notiamo la differenza tra i simboli + e + nella (3), il primo indica l’operazione di somma tra scalari e il secondo la somma tra vettori; analogamente l’operazione $\left ( \cdot \right )$ indica nella (5) il prodotto tra uno scalare e un vettore e il simbolo il prodotto tra scalari.