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Calcolo di limiti che si presentano in forme indeterminate

In questi esempi applichiamo vari metodi per il calcolo di un limite che si presenta in forma indeterminata.

Argomenti propedeutici

  • Scomposizione in fattori di un polinomio e metodo di Ruffini, Razionalizzazione di una frazione, Formule goniometriche, Logaritmi;
  • Limiti notevoli ( per altri esercizi clicca qui
  • Infiniti e infinitesimi
  • Teoremi sui limiti
  • Regola di De L’Hôpital
  • Formula di Taylor

Esempio 1. Calcolare i seguenti quattro limiti \[\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{x+\sqrt{x}-2}{x+2\sqrt{x}-3}\]

Suggerimento: porre $\displaystyle \sqrt{x}=t$ …

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{arctan^{2}x-\frac{\pi ^{2}}{4}}{arctan^{2}x+\left ( 1-\frac{\pi}{2} \right )arctanx-\frac{\pi }{2}}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{log_{3}x+1}{log_{7}x+1}\]

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen^{2}x}{1-cos^{3}x}\]

Se non sai calcolare tali limiti puoi provare a vedere il mio video su Youtube

Esempio 1.1- Calcolare i seguenti quattordici limiti

\[\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{x^{3}-5x+4}{x^{3}+2x-3}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left ( 1+3x \right )}{e^{2x}-1}\]

\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x-1}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{4x^{2}-3x+2}-2x \right )\]

\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x-3}{x+4} \right )^{\frac{x^{2}-1}{2x}}\]

\[\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{5ln\sqrt{1+4x}}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{e^{x}-2^{x}}{x^{2}-2x}\]

\[\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt{x^{2}-4x-5}}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{x+1} -\sqrt{x+2}\right )\]

\[\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{5ln\left ( 1+3x \right )^{2}}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2} }\left ( \frac{1-sen^{3}x}{cos^{2}x} \right )\]

\[\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1-\sqrt{cosx}}{x^{2}}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{8x+5}{\sqrt{4x^{2}+3x+2}}\]

Puoi trovare questi esercizi svolti nel mio canale Youtube Playlist “Limiti di una funzione”

Esempio 2. Calcolare i seguenti cinque limiti \[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3^{x}+senx}{3^{x}-2^{x}}\]

Suggerimento: Raccogliere a fattore comune $\displaystyle 3^{x}$

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi sen\left ( \pi x \right )}{3xcos\left ( \pi x \right )}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos^{3}x}{xsenxcosx}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-cos3x}}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3x^{3}+sen3x}{2x+x^{2}}\]

Se non sai calcolare tali limiti puoi provare a vedere il mio video su Youtube

Esempio 3.- Limiti di funzioni irrazionali… clicca qui

Esempio 4. Calcolare i seguenti cinque limiti \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{3}-\sqrt{x}}{3-x}\]

Suggerimento: Razionalizzare il numeratore…

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{x^{2}+4x}-x \right )\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{ln\left ( 2+\frac{1}{x} \right )}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan4x-tan^{4}x}{tanx}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{3}+3x+2}-\sqrt{x^{2}+1}}{x\sqrt{x+1}}\]

Se non sai calcolare tali limiti puoi provare a vedere il mio video su Youtube

Esempio 5. Calcolare i seguenti cinque limiti:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsenx}{\left ( 1-cosx \right )^{\frac{1}{2}}}\]

\[\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{3}}\left [ ln_{2}\left ( 3x+1 \right )-ln_{4}(3x+1) \right ]sen\left ( 6x+2 \right )\]

R. Il secondo limite vale zero

Per vedere altri esercizi svolti con i limiti notevoli clicca qui

Suggerimento per calcolare il primo limite: Calcolare il limite sinistro e destro…

\[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{\frac{\pi }{4}-x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan^{2}x-\frac{sen^{2}2x}{4}}{sen^{4}3x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1}{tanx}-\frac{1}{x} \right )\]

Se non sai calcolare tali limiti puoi provare a vedere il mio video su Youtube

Nota.- Il quarto limite è un primo esempio di limite calcolato con la formula di Taylor

Esempio 6.- Calcolare i seguenti quattro limiti \[\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{3^{x}+1}{3} \right )^{\frac{1}{x}}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ ln\left (x^{4}-x^{2}+1 \right )-lnx \right ]\]

\[\lim_{x\rightarrow +0 }\frac{exp\left ( -\frac{1}{x^{2}} \right )}{x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0 }log_{(x^{2}+2)}\left ( x^{3}+1 \right )\]

Esempio 7.- Calcolare i seguenti limiti

Esempio 8. Calcolare i seguenti quattro limiti con la Regola di De L’Hôpital

\[\lim_{x\rightarrow 3 }\frac{x^{3}-27}{(x-3)^{2}}\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x+1}}{ln\, x}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1}{tanx}-\frac{1}{x} \right )\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{x-senx}\]

 

Può consultare altri 300 esercizi svolti nel mio libro “Limiti di una funzione